Логарифмы: как считать, свойства и таблица значений

Короткий ответ

Логарифм — это показатель степени, в которую надо возвести основание, чтобы получить число. Запись logₐ b = x означает aˣ = b. Читается: «логарифм числа b по основанию a равен x». Пример: log₂ 8 = 3, потому что 2³ = 8. Вопрос «чему равен логарифм 8 по основанию 2» — это тот же вопрос «в какую степень возвести 2, чтобы вышло 8».

Шесть самых ходовых логарифмов считаются в уме, если перед глазами степени основания:

Дальше по порядку: связь логарифма со степенью и ограничения, lg и ln с таблицей значений, семь свойств с проверками, два приёма устного счёта и разбор типичных ошибок. Любой пример из статьи проверяется возведением в степень в калькуляторе степеней: логарифм и возведение в степень — взаимно обратные операции, как умножение и деление. Список степеней двойки, тройки и пятёрки, по которому ответы выше видно сразу, — в таблице степеней.

Что такое логарифм: определение через степень

Степень отвечает на вопрос «сколько будет?», логарифм — на вопрос «в какую степень?». Одна и та же пара чисел, развёрнутая в разные стороны. 2³ = 8 — прямое действие. log₂ 8 = 3 — обратное: по результату и основанию ищем показатель. Отсюда основное логарифмическое тождество: если logₐ b = x, то a^(logₐ b) = b. Логарифм вытаскивает показатель, возведение в степень возвращает число: 2^(log₂ 32) = 32, 5^(log₅ 625) = 625.

Работает определение не со всеми числами. Основание a должно быть больше нуля и не равно единице. Число b — строго положительное. Причины простые. Основание 1 бесполезно: единица в любой степени равна единице, и «логарифмом» одного и того же числа пришлось бы считать бесконечно много разных ответов — однозначности нет. Отрицательные основания ломают правила: (−2)² = 4, (−2)³ = −8 — показатели прыгают через знак, свойства не работают. А логарифм нуля или отрицательного числа не существует вовсе: положительное основание ни в какой степени не даст ни ноль, ни минус. Даже 2⁻¹⁰⁰ — это крошечное положительное число, а не ноль.

Сам показатель при этом вправе быть любым — целым, дробным, отрицательным. log₂ 0,5 = −1, потому что 2⁻¹ = 0,5. log₄ 8 = 1,5, потому что 4^1,5 = 4 · √4 = 8: дробная степень — это корень, и проверяется такая запись в калькуляторе корней. Отсюда важный вывод: отрицательным может быть сам логарифм, а вот число под логарифмом — никогда.

Десятичный и натуральный логарифм

Из всех возможных оснований прижились два. Десятичный логарифм — по основанию 10, пишется lg: lg 100 = 2. У него приятное свойство: ответ виден по количеству цифр. lg 10 = 1, lg 100 = 2, lg 1000 = 3. Число 3500 лежит между 1000 и 10 000, значит lg 3500 лежит между 3 и 4. До калькуляторов на этом строилась вся вычислительная техника: произведение сводилось к сумме логарифмов, и по этому принципу работала логарифмическая линейка.

Натуральный логарифм — по основанию e ≈ 2,718, пишется ln: ln e = 1. Число e возникает везде, где что-то растёт или тает непрерывно: проценты по вкладу, распад вещества, остывание чая. Поэтому ln стоит в физике, экономике и биологии, а lg — в инженерии и работе с порядками величин. Путать их дорого: lg 100 = 2, а ln 100 ≈ 4,605.

Значения от 1 до 10 с тремя знаками после запятой:

Таблица короткая, но вместе со свойствами из следующего раздела закрывает большую часть школьных примеров. Заметьте закономерность: lg 4 = lg 2² = 2 · 0,301 = 0,602, lg 8 = 3 · 0,301 = 0,903 — значения степеней двойки получаются из lg 2 простым умножением. То же с тройкой: lg 9 = 2 · lg 3 = 0,954.

Свойства логарифмов: 7 формул

Все свойства — переформулированные правила степеней: произведение степеней складывает показатели, значит логарифм произведения равен сумме логарифмов. К каждой формуле — числовая проверка. Прогоните её в голове один раз, и формула запомнится сама.

Из семи формул чаще всего выручает предпоследняя. Школьный набор оснований — 2, 3, 5, 10 и e — не покрывает все примеры: в задаче может всплыть log₄ 8 или log₆ 72. Переход к другому основанию переводит такой логарифм в привычные lg или ln: log₆ 72 = lg 72 : lg 6 = 1,857 : 0,778 ≈ 2,39. Считается в одно деление, проверяется возведением: 6^2,39 — действительно около 72.

Как считать логарифм без калькулятора

Приём первый — разложение числа на множители и свойство произведения. Считаем lg 15: пятнадцать — это три на пять, поэтому lg 15 = lg 3 + lg 5 ≈ 0,477 + 0,699 = 1,176. То же с более длинным числом: lg 240 = lg 24 + lg 10 = lg 3 + lg 8 + lg 10 ≈ 0,477 + 0,903 + 1 = 2,380. Достаточно помнить пять значений из таблицы — lg 2, lg 3, lg 5, lg 7 и ln 2 — чтобы собирать из них десятки ответов.

Приём второй — «между степенями». Нужен log₂ 100. Двойка в шестой даёт 64, в седьмой — 128: 64 < 100 < 128. Значит, ответ зажат между 6 и 7. А поскольку 100 стоит заметно ближе к 128, чем к 64, ответ ближе к 7 — примерно 6,6. Точная проверка через переход к другому основанию: log₂ 100 = lg 100 : lg 2 = 2 : 0,301 ≈ 6,64. Оценка «между степенями» дала верный ответ одним взглядом.

Тем же приёмом оцениваются логарифмы с любым основанием. log₃ 50: три в кубе — 27, в четвёртой — 81, значит ответ между 3 и 4, ближе к середине. Для контрольной такой оценки часто достаточно: из четырёх вариантов ответа под условие «между 3 и 4» подходит один.

Типичные ошибки

Пять ситуаций, в которых логарифм «посчитан», а ответ неверный. Первые две стоят половины ошибок в тетрадях.

Частые вопросы

Что такое логарифм простыми словами?

Показатель степени, который прячет в себе число. log₂ 8 = 3 — короткая запись вопроса «в какую степень возвести 2, чтобы получить 8». Ответ — 3. Само слово переводится как «отношение чисел»: Джон Непер придумал логарифмы в начале XVII века, чтобы умножение больших чисел свести к сложению.

Как посчитать логарифм онлайн?

Если пример разложимый — log₂ 8, lg 1000, log₅ 125 — он считается в уме через степени, сверьте основание по калькулятору степеней. Если число неразкладимое — lg 3500, log₂ 100 — сначала оцените ответ «между степенями», потом уточните его через таблицу значений и переход к другому основанию. Для дробного показателя вроде 4^1,5 пригодится калькулятор корней.

Чему равен логарифм единицы?

Нулю при любом допустимом основании: logₐ 1 = 0, потому что a⁰ = 1. Это одна из семи базовых формул, и она же — быстрая проверка на контрольных: если в ответе на пример с единицей вышло что-то кроме нуля, где-то сбился знак.

Может ли логарифм быть отрицательным?

Да. При основании больше единицы логарифм отрицателен для чисел между нулем и единицей: log₂ 0,5 = log₂ (1/2) = −1, log₂ 0,125 = −3. Устраивается это минусом в показателе: 2⁻¹ = 1/2. Работать с такими аргументами — значит работать с дробями, правила сложения, вычитания и сокращения дробей собраны в гайде как считать дроби.

Чем lg отличается от ln?

Основанием. lg — десятичный логарифм, основание 10: lg 100 = 2. ln — натуральный, основание e ≈ 2,718: ln 100 ≈ 4,605. Разница видна даже на круглом числе, а на неразкладимом расхождение доходит до полутора раз. Связь между ними постоянная: ln x = lg x : lg e ≈ lg x : 0,434, поэтому одно число переводится в другое одним делением.

Коротко

Логарифм — показатель степени: logₐ b = x означает aˣ = b, например log₂ 8 = 3, потому что 2³ = 8. Число под логарифмом всегда строго положительное, основание — положительное и не единица. Два главных логарифма: lg по основанию 10 и ln по основанию e ≈ 2,718, их значения от 1 до 10 — в таблице выше. Свойств семь, из них самые ходовые: произведение складывает логарифмы, частное вычитает, степень выносит показатель вперёд. Без калькулятора логарифм считается разложением числа на множители или оценкой «между степенями». Проверять примеры удобнее всего возведением: степени — в калькуляторе степеней, дробные показатели и корни — в калькуляторе корней, готовые степени двойки, тройки и пятёрки — в таблице степеней.