Таблица степеней: квадраты, кубы и степени 1-10

Короткий ответ

Самые спрашиваемые степени — сразу, без прокрутки:

Нужна степень, которой нет в таблице? В калькуляторе степеней введите основание и показатель одной строкой — «2 25» или «7 4» — и получите ответ с разложением на множители.

Степень — это краткая запись умножения числа на самого себя. Запись 5³ означает «умножить 5 на себя три раза»: 5 × 5 × 5 = 125. Число, которое умножают, называется основанием, маленькая цифра сверху — показателем. Читается так: 5² — «пять в квадрате», 5³ — «пять в кубе», 5⁵ — «пять в пятой степени». Первая степень ничего не меняет: 7¹ = 7, потому что умножить число на себя один раз — значит просто оставить его в покое.

Дальше три таблицы, которые закрывают школьную программу с запасом: квадраты от 1 до 20, кубы от 1 до 10 и степени двойки с тройкой. За ними — пять свойств с примерами в одну строку, приёмы устного счёта для квадратов и таблица ошибок, из-за которых решения теряют баллы.

Квадраты чисел от 1 до 20

Квадрат — вторая степень, и это самая ходовая таблица после таблицы умножения. Теорема Пифагора, дискриминант, формулы сокращённого умножения, расстояние между точками — везде всплывают квадраты, и каждый раз пересчитывать 17 × 17 столбиком утомительно. Лично я советую выучить наизусть квадраты до 13 включительно, а дальше — узнавать в лицо: разница между «вспомнить» и «достроить» в классе старших стоит минуты времени.

Обратите внимание на левый нижний и правый верхний углы: 8² = 64 — и это же число появится в таблице кубов как 4³. Такие совпадения встречаются ещё раз — 81 = 9² = 3⁴, — и именно на них чаще всего путаются на контрольных. Если помнить пару «64 — это и квадрат восьми, и куб четырёх», половина ловушек закрывается.

Кубы чисел от 1 до 10

Куб — третья степень. Название не украшение: куб со стороной 3 имеет объём 3 × 3 × 3 = 27 кубических единиц, поэтому третья степень и отвечает за объёмы. В школьном курсе кубы нужны реже квадратов — в задачах на объём и в разложении чисел на множители, — так что таблица короче.

Последняя строка — самая полезная в хозяйстве: кубический дециметр равен литру, потому что 10³ = 1000. Отсюда же кубический метр — 100³ = миллион кубических сантиметров, и вот уже вся бытовая арифметика объёмов сходится без справочников.

Степени двойки и тройки до 20-й

Если из всей статьи запоминать одну таблицу, то эту. Степени двойки — это цепочка удвоений, на которой держится вся компьютерная арифметика: 1 килобайт — это не ровно тысяча байт, а 1024, то есть 2¹⁰. Ровно на десятой степени все и спотыкаются: до девятой цепочку достраивают без труда, а 2¹⁰ = 1024 нужно помнить отдельно. Дальше числа растут быстро, но закономерность та же, поэтому таблица доведена до двадцатой степени — от 2¹¹ = 2048 до 2²⁰ = 1 048 576 и от 3⁶ = 729 до 3²⁰ = 3 486 784 401.

Забытую степень здесь не вспоминают — её достраивают. Каждое следующее число вдвое больше предыдущего, поэтому если в голове остался только 2⁵ = 32, дальше по цепочке: 32 × 2 = 64, 64 × 2 = 128, и до 1024 останется три шага. Тот же приём работает для тройки с той разницей, что множитель там тройка. А для больших показателей есть shortcut через квадрат: 2²⁰ — это (2¹⁰)² = 1024² = 1 048 576, и запоминать двадцать строк не нужно.

Свойства степеней: пять правил вместо пересчёта

Свойства — это то, ради чего степени вообще придумали: они позволяют не считать гигантские произведения, а работать с показателями. Все пять правил действуют при одном условии — основания совпадают. В таблице каждое правило снабжено проверяемым примером: правую часть можно посчитать напрямую и убедиться, что сходится.

Нулевая степень выглядит странно, но выводится из деления: 7⁴ / 7⁴ = 1, а по правилу вычитания показателей та же запись — это 7⁰. Раз ответ должен быть один, 7⁰ = 1. Отрицательная степень зеркальна: 3² / 3⁵ = 3⁻³, и та же дробь 9/243 сокращается до 1/27 — отрицательный показатель просто говорит «переворачивай в дробь».

Как возводить в квадрат в уме

Квадраты чисел, кончающихся на 5, считаются одним приёмом. Умножьте число десятков на следующее за ним число и припишите 25. Для 25² это 2 × 3 = 6 и 25 — выходит 625. Для 35²: 3 × 4 = 12, приписываем 25, получаем 1225. Приём работает до бесконечности: 95² = 9025, потому что 9 × 10 = 90. Причина проста — (10a + 5)² = 100·a·(a+1) + 25, то есть приписанная двадцать пять и есть математика этого трюка.

Числа рядом с 50 и 100 считаются через ту же идею — формулу квадрата разности. 48 — это 50 − 2, поэтому 48² = 2500 − 200 + 4. Поправка «минус два раза по пятьдесят» длиннее, чем сама поправка «плюс четыре», — в этом и удобство: основной вклад всегда даёт круглое число, и ошибиться в арифметике почти негде. Для сотни всё то же, только базой служит 10000: 97² = 10000 − 600 + 9 = 9409.

Ошибка → решение

Четыре ошибки, которые встречаются в тетрадях постоянно, и одна коварная — со знаком минус. Все они решаются не зубрёжкой, а проверкой, которая занимает одну строку.

Частые вопросы

Что такое степень числа?

Краткая запись повторного умножения: aⁿ — это a, перемноженное на себя n раз. 4³ = 4 × 4 × 4 = 64. Основание говорит, что умножаем, показатель — сколько раз. Из этого определения вытекает всё остальное, включая свойства из таблицы выше.

Сколько будет 2 в 10 степени?

1024. Цепочка удвоений: 2, 4, 8, 16, 32, 64, 128, 256, 512, 1024. Это число стоит запомнить отдельно, потому что компьютерная память меряется именно степенями двойки: 1 КБ = 2¹⁰ байт. До 512 цепочка достраивается легко, а десятую ступень часто теряют — проверяйте её умножением 512 × 2.

Что значит число в минус первой степени?

Обратное число, то есть дробь с единицей наверху. 5⁻¹ = 1/5 = 0,2, 2⁻¹ = 0,5, 10⁻¹ = 0,1. Смысл в том, что a⁻¹ × a¹ = a⁰ = 1 — числа взаимно уничтожаются. Если 0,2 умножить на 5, выйдет ровно единица — так и проверяется.

Как возвести число в квадрат?

Умножить его на самого себя. 13² = 13 × 13 = 169. С отрицательными числами квадрат всегда положителен: (−6)² = 36. Дробь возводится покомпонентно: (2/3)² = 4/9 — и числитель, и знаменатель умножаются на себя. Такие примеры удобно проверять в калькуляторе дробей, он считает цепочки со скобками и показывает сокращённый ответ.

Чем куб отличается от квадрата?

Количеством множителей: квадрат — два (n × n), куб — три (n × n × n). Геометрически квадрат отвечает площади, куб — объёму. Численно куб растёт гораздо быстрее: 20² = 400, но 20³ = 8000. Ещё раз про знаменитое совпадение: 64 — это и 8², и 4³, не позволяйте таблицам спорить между собой.

Почему нельзя (a + b)² считать как a² + b²?

Потому что в квадрат возводится вся скобка целиком: (a + b)² = (a + b) × (a + b), а при раскрытии скобок каждое слагаемое умножается на каждое — отсюда и лишнее 2ab. Числовая проверка надёжнее любых рассуждений: 10² = 100, но (7 + 3)² ≠ 49 + 9 = 58. Потерянное 2ab — ровно разница между «решено» и «решено неверно».

Коротко

Степень — умножение числа на себя, где показатель считает множители: 5³ = 5 × 5 × 5 = 125. Рабочие таблицы: квадраты до 20 (от 1 до 400), кубы до 10 (от 1 до 1000) и степени двойки до 1024. Свойства снимают необходимость пересчитывать: при умножении показатели складываются, при делении вычитаются, нулевая степень — единица, отрицательная — дробь. Квадраты на 5 считаются приписыванием 25: 45² = 2025. Главная проверка — прямое умножение: она ловит и потерянное 2ab, и «2³ = 6».

Смежные темы: дроби и их степени разбирает гайд по дробям, доли со знаменателем 100 — гайд по процентам, а дроби в любой степени, включая отрицательные показатели, считает калькулятор дробей.

Дальше по математике: правила округления чисел — пригодятся, когда в ответе получается бесконечная дробь; таблица умножения — фундамент, на котором держатся все эти степени; и таблица синусов и косинусов, если массивы со степенями уже не пугают.