Сложный процент: формула и примеры расчета

Короткий ответ

Сложный процент живёт в одной формуле: A = P × (1 + r)ⁿ — итоговая сумма равна вкладу, умноженному на «единица плюс ставка» в степени срока. P — начальный вклад, r — годовая ставка в долях (10% — это 0,1), n — число лет. Вся соль в степени: проценты каждый год присоединяются к вкладу, и в следующем году начисляются уже с увеличенной суммы.

Пример, с которым сравнивают любые вклады. 100 000 ₽ под 10% на 5 лет с капитализацией: 100 000 × 1,1⁵ = 161 051 ₽. Тот же вклад без капитализации, по простому проценту: 10 000 ₽ в год, итог 150 000 ₽. Разница — 11 051 ₽. Это плата за время: при капитализации проценты работают на проценты, и каждый год машина ускоряется.

Смотрите на третью колонку: начисления растут без всяких довложений — 10 000, потом 11 000, потом 12 100. Сам расчёт — это степень, и считает её калькулятор степеней: вводите «1.1 5», получаете 1,6105, умножаете на вклад.

Простой и сложный процент: в чём разница

Простой процент всегда считается от исходной суммы. Вложили 100 000 под 10% — получаете ровно 10 000 ₽ в год, хоть три года, хоть двадцать. Рост линейный, как километры за окном поезда.

Сложный процент считается от суммы вместе с уже начисленными процентами. Первый год даёт те же 10 000 ₽, второй — уже 11 000, третий — 12 100. Рост получается экспоненциальный. Разница между двумя способами на первом году нулевая, а на двадцатом — больше самого вклада.

За 20 лет вклад принёс 572 750 ₽ прибыли, из которых 372 750 ₽ — проценты на проценты. Почти две трети всей прибыли сделало не «удачное» вложение, а время. Отсюда и совет, который повторяют все финансисты: начинать рано. Первые годы дают меньше всего рублей, но именно они дольше всех проворачивают проценты.

Формула и её части

Разбираем A = P × (1 + r)ⁿ по буквам. A — сколько будет на счёте в конце. P — начальный вклад. r — годовая ставка в долях: 10% пишем как 0,1, и забытая запятая опасна — (1 + 10)ⁿ выдаёт триллионы вместо рублей. n — число периодов капитализации, при годовой оно равно числу лет.

Банки капитализируют не только раз в год. При ежемесячной капитализации ставка делится на 12, а срок умножается на 12: A = P × (1 + r/12)¹²ⁿ. При ежедневной — на 365: A = P × (1 + r/365)³⁶⁵ⁿ. Логика одна и та же: чаще капает — быстрее растёт.

Отсюда эффект, который путает новичков. Банк пишет «10% годовых», а за год с ежемесячной капитализацией на счёт падает 10,47%: каждый месяц добавляется по 0,8333%, и эти доли тоже начинают зарабатывать. 10% — номинальная ставка, 10,47% — эффективная. Пара работает как зарплата gross и net: зарплата gross и net — та же история с цифрой в договоре и цифрой в кошельке.

Частота помогает, но слабее, чем кажется. Ежемесячная капитализация добавила к годовой 3 480 ₽ за пять лет, ежедневная к ежемесячной — 330 ₽. Первый начисленный процент работает дольше всех, поэтому решают ставка и срок, а не «раз в день или раз в месяц». И не ищите 1,1⁵ в таблице степеней: там живут основания 2, 3 и 10 — дробные основания вроде 1,1 считает только калькулятор.

Правило 72: прикидка без калькулятора

Чтобы узнать, за сколько лет вклад удвоится, формула не нужна — делите 72 на ставку. 72 ÷ 10 = 7,2 года. 72 ÷ 7 = 10,3 года. А 72 ÷ 3 = 24 года — столько нужно инфляции в 3% в год, чтобы ваши деньги потеряли половину покупательной способности. Одно правило с двумя сторонами: оно считает и рост вклада, и рост цен.

Правило приближённое. Точное удвоение при 10% наступает через 7,3 года, при 3% — через 23,4. Ошибка — пара процентов срока, для прикидки в голове хватает. Проверку делает калькулятор степеней: ищите n, при котором 1,1ⁿ перевалит за 2.

Последняя колонка объясняет, почему срок важнее ставки. Под 3% за 30 лет деньги вырастут в 2,43 раза, под 10% — в 17,45. А вклад и инфляция под одинаковую ставку делают ровно противоположные вещи равной силы: 7% за десять лет удваивают счёт и ровно так же делят пополам его покупательную способность.

Сложный процент против тебя: кредиты

У формулы нет мнения, чьи деньги растить. Кредитка под 20,9% годовых, по которой три года никто не платит: 100 000 × 1,209³ = 176 717 ₽ долга. Банк получил тот же «вклад», только со знаком минус для вас.

Ежемесячная версия капает быстрее: 20,9% ÷ 12 = 1,74% в месяц, на 100 000 это 1 742 ₽ за первый же месяц просрочки. Разовые доли — «сколько в месяц», «сколько от остатка» — удобно прикидывать калькулятором процентов.

Дальше ловушка минимального платежа. Банк просит 3–5% от текущего долга — на старте это 5 000 ₽, платится легко. Но из них 1 742 ₽ сразу уходит на проценты, и на тело долга падает лишь 3 258 ₽. Платёж тает вместе с долгом, поэтому и гасится такая схема годами: при платеже 5% от остатка и ставке 20,9% кредитка со 100 000 ₽ закроется только через 17 лет, и проценты добавят к долгу ещё около 53 000 ₽. Вечного долга не будет лишь у того, кто платит больше минималки. Ставку, грейс-период и плату за снятие наличных читайте в договоре до первой покупки, а не после первого платежа.

Типичные ошибки

Четыре из пяти неверных ответов на задачах про сложный процент — из этого списка. Пятая — невнимательность к договору.

Частые вопросы

Капитализация процентов — это что?

Присоединение начисленных процентов к основной сумме вклада: в следующем периоде проценты начисляются уже с увеличенной суммы. Капитализация бывает раз в год, раз в месяц и раз в день — чем чаще, тем быстрее растёт вклад при той же номинальной ставке. Вклад без капитализации — это простой процент: начисления лежат на отдельном счёте и сами ничего не зарабатывают.

Сколько будет 100 000 под 10 процентов на 5 лет?

С ежегодной капитализацией — 161 051 ₽: формула 100 000 × 1,1⁵. Без капитализации — 150 000 ₽. С ежемесячной капитализацией вышло бы 164 531 ₽. Разница между тремя вариантами — 14 531 ₽ на одной и той же ставке, и вся она сделана частотой начислений и временем.

Что выгоднее: 10,5% без капитализации или 10% с ежемесячной?

10,5% без капитализации. Эффективная ставка у 10% с ежемесячной капитализацией — 10,47%, это чуть меньше. Разница копеечная, но пример показывает главное правило: сравнивать вклады нужно по эффективной ставке, а не по цифре в рекламе. Банки обязаны её раскрывать — ищите «эффективная ставка» или «ставка с учётом капитализации» в условиях.

Почему банк начислил меньше, чем вышло по формуле?

Возможные причины три. Первая: проценты начисляются с даты каждого пополнения, а не с начала года. Вторая: неполный срок считается по дням, а не как целый период. Третья: доход по вкладам сверх необлагаемого лимита облагается НДФЛ — лимит зависит от ключевой ставки, и налог вычитается уже после начисления. Формула даёт «грязными», на руки приходит чуть меньше — как с зарплатой до и после налогов.

Где ещё встречается сложный процент?

В кредитах и долгах по картам — там он работает против заёмщика. В инфляции — обесценивание денег идёт по той же формуле. В реинвестировании дивидендов и купонов: купоны покупают новые акции и облигации, и портфель растёт как вклад с капитализацией. И в олимпиадных задачах: «бактерия делится каждый час», «снежный ком удваивается» — это та же геометрическая прогрессия (1 + r)ⁿ, просто без рублей.

Коротко

Сложный процент — степень, а не умножение: A = P × (1 + r)ⁿ. 100 000 под 10% на 5 лет — это 161 051 ₽ с капитализацией и 150 000 без неё, разница 11 051 ₽. Ежемесячная капитализация поднимает 10% до 10,47% эффективных, и сравнивать вклады нужно именно по эффективной ставке. Правило 72 даёт срок удвоения в уме: 72 ÷ ставка, при 10% это 7,2 года. На кредитах та же формула работает против вас — минимальный платёж растягивает долг на годы. Степени вида 1,1⁵ считает калькулятор степеней, разовые проценты от числа — калькулятор процентов, а табличные степени целых чисел собраны в гайде по степеням. Если хотите понять, сколько от начислений остаётся после налогов, начните со статьи про зарплату gross и net — принцип тот же.