Скорость, время и расстояние: как решать задачи

Короткий ответ

Все задачи на движение держатся на одном равенстве: S = v × t — путь равен скорости, умноженной на время. Отсюда же выходят две обратные формулы: v = S / t (как найти скорость) и t = S / v (как найти время, зная скорость и расстояние). Три строки по отдельности учить не нужно — их рисуют одним треугольником:

     /\
    /  \
   / S  \
  /------\
 / v  | t \
/__________\

Нарисуйте треугольник и проведите в нём горизонтальную черту: сверху останется S, снизу рядом встанут v и t. Дальше закрываете пальцем ту величину, которую ищете, и читаете, что осталось. Закрыл S — открыты v и t, значит S = v × t. Закрыл v — сверху S, снизу t, значит v = S / t. Закрыл t — t = S / v. Школьники запоминают этот рисунок на годы, потому что рука помнит его лучше, чем голова — формулу.

Единственная оговорка: единицы должны быть согласованы. Скорость в км/ч, время в часах — ответ выйдет в километрах. Скорость в м/с, время в секундах — ответ в метрах. Если величины в разных единицах, сначала переводят, потом считают. Чем переводить — следующая таблица.

Км/ч и м/с: перевод через 3,6

В учебнике физики скорость измеряют в метрах в секунду, на спидометре и в дорожных задачах — в километрах в час. Связь между ними выводится из двух переездов: 1 км = 1000 м, 1 час = 3600 с. Поэтому 1 км/ч — это 1000 / 3600 м/с, то есть 1 / 3,6 м/с. Отсюда два правила на всю жизнь: чтобы км/ч перевести в м/с, делим на 3,6; чтобы м/с перевести в км/ч, умножаем на 3,6.

Делить на 3,6 в уме неудобно, поэтому я советую выучить четыре опорные пары из таблицы: 36 — 10, 72 — 20, 90 — 25, 108 — 30. Всё между ними прикидывают: 50 км/ч — это примерно 14 м/с, середина между 10 и 20. Для контрольной точности хватает, для экзамена — пересчитайте на бумаге. Километры к милям и километры в час к mph переводит конвертер величин — пригодится, если смотрели американское видео и пытаетесь понять, что такое 65 mph на наших знаках. Разобранная таблица миль — в статье мили в километры.

Разбор трёх задач

Три задачи закрывают три положения пальца на треугольнике: искали расстояние, время и снова время — но с ловушкой внутри.

Задача 1. Пешеход: найти расстояние

Пешеход вышел из дома и идёт со скоростью 5 км/ч. Сколько километров он пройдёт за 3 часа?

Закрываем S: S = v × t = 5 × 3 = 15 км. Одно действие, но проверьте единицы до него: км/ч и часы согласованы, значит ответ выйдет в километрах, и ничего переводить не нужно. А вот если бы в условии стояло «90 минут», сначала 90 минут = 1,5 часа, и только потом умножение: 5 × 1,5 = 7,5 км.

Задача 2. Машина: найти время

Дорога от дома до дачи — 270 км. Машина едет со скоростью 90 км/ч. Сколько времени займёт дорога?

Закрываем t: t = S / v = 270 / 90 = 3 часа. Чистый ответ, но с одной житейской оговоркой: 3 часа — это «руль в руках», без остановок. Навигатор на том же маршруте покажет 3 ч 20 мин, потому что средняя скорость поездки ниже крейсерской: заправка, светофор на выезде, участок, где тянет фура. Формула честная — просто подставлять в неё нужно среднюю скорость всей поездки, а не ту, что мелькала на спидометре на пустом перегоне.

Задача 3. Поезд в туннеле

Поезд длиной 200 м идёт со скоростью 54 км/ч. За какое время он полностью пройдёт туннель длиной 700 м?

Здесь две ловушки. Первая — единицы: путь в метрах, и секунды просятся сами, значит переводим скорость: 54 / 3,6 = 15 м/с. Вторая — путь. «Полностью прошёл туннель» означает, что из туннеля вышел хвост последнего вагона. От момента, когда нос въехал, до момента, когда хвост выехал, нос проходит 700 + 200 = 900 м — длину туннеля плюс длину собственного состава. Дальше треугольник: t = S / v = 900 / 15 = 60 секунд, ровно минута. Забыли прибавить длину поезда — получили 46,7 с и пометку учителя красной ручкой.

Встречное, вдогонку, река

После одиночного едока в задачах на движение появляются пары: два навстречу, один за другим, лодка на реке. Во всех трёх сюжетах вопрос один — с какой скоростью меняется расстояние между ними.

Встречное движение. Между городами 300 км, из них навстречу выехали автобус (60 км/ч) и легковушка (40 км/ч). Вместе за час они съедают 100 км разрыва, значит встреча через 300 / 100 = 3 часа. Проверка без формул: автобус проедет 180 км, легковушка 120, в сумме 300 — сходится.

Вдогонку. Автобус с 60 км/ч выехал на час раньше легковушки с 90 км/ч из того же места. За этот час он ушёл вперёд на 60 км, и каждый следующий час машина отыгрывает 90 − 60 = 30 км. 60 / 30 = 2 часа после своего старта. Сверяем: машина прошла 180 км, автобус за свои три часа — тоже 180. Та же точка, значит встретились.

Река. Катер идёт со своей скоростью 18 км/ч, течение — 2 км/ч. Вниз по реке и обратно 40 км: по течению 20 км/ч, то есть 2 часа, против 16 км/ч, то есть 2,5 часа. Весь маршрут — 4,5 часа. И сразу мостик к таблице ошибок ниже: средняя скорость на этом круге — не (20 + 16) / 2 = 18. Она равна 80 км / 4,5 ч ≈ 17,8 км/ч, потому что против течения катер провёл больше времени, и «медленная» половина маршрута весит больше.

Ошибка → решение

Пять ситуаций, в которых арифметика считается, а ответ — неверный. Первые две ловят на единицах, третья — самая дорогая, её любят составители контрольных.

Частые вопросы

Как найти скорость, зная расстояние и время?

v = S / t — путь разделить на время. Единицы ответа подсказывают условие: километры, делённые на часы, дадут км/ч; метры, делённые на секунды, — м/с. Пример: 270 км за 3 часа — это 90 км/ч. Если выходит некруглое число вроде 73,7 — не пугайтесь, реальные скорости такими и бывают, округляйте так, как требует вопрос.

Как быстро перевести км/ч в м/с без калькулятора?

Разделить на 3,6 — или, что то же самое, умножить на 10 и разделить на 36. В уме удобнее держать опорные пары: 36 км/ч = 10 м/с, 72 = 20, 90 = 25, 108 = 30. Обратный перевод — умножение на 3,6: 15 м/с — это 54 км/ч. На грубую прикидку хватает правила «м/с почти втрое-вчетверо больше», но в тетради считайте точно.

Время дано в минутах — обязательно переводить в часы?

Не обязательно, но обязательно согласовать. Два честных пути: перевести минуты в десятичные часы (45 мин = 0,75 ч) или перевести скорость в километры в минуту (60 км/ч = 1 км/мин). Перемешивать нельзя: «5 км/ч × 45 минут» — это не задача, а загадка с непредсказуемым ответом.

Как считать среднюю скорость, если была остановка?

Весь путь делить на всё время, включая стоянку. Стоянка не вычитается, а разбавляет: 120 км с часом отдыха посередине при 60 км/ч в движении — это 120 км за 3 часа, средняя 40 км/ч. Именно поэтому средняя скорость поездки всегда ниже, чем «скорость, с которой ехали», и навигатор оценивает время прилёта по ней, а не по спидометру.

Может ли скорость быть отрицательной?

В задачах на путь — нет: там скорость это длина, число без знака. Отрицательной бывает проекция скорости в физике, когда тело движется против выбранной оси, — минус означает направление, а не «медленнее нуля». В арифметике школьных задач минус в ответе почти всегда означает ошибку в расстановке данных: например, из меньшего вычли большее, считая, кто кого догоняет.

Чем путь отличается от перемещения?

Путь — сколько намотано по траектории, перемещение — вектор от старта к финишу. Катер из задачи про реку намотал 80 км, а его перемещение — ноль: вернулся туда же. В школьных задачах на движение буквой S почти всегда обозначают путь, и средняя скорость считается именно по нему. Если же вопрос стоит про перемещение, из пути туда-обратно вычитается возврат.

Коротко

Один треугольник S, v, t закрывает все три вопроса: S = v × t, v = S / t, t = S / v. Перед подстановкой согласуйте единицы — км/ч в м/с переводится делением на 3,6, минуты в часы — делением на 60. Для парных сюжетов скорость меняется так: навстречу — сумма, вдогонку — разность, река — плюс-минус течение. А средняя скорость считается только через весь путь и всё время, никогда через среднее арифметическое. Единицы, которых нет в таблице выше, за секунду переведёт конвертер величин — от км/ч и м/с до миль и узлов.