Средняя скорость: как найти (формула и примеры)

Короткий ответ

Средняя скорость — это весь путь, делённый на всё время: v = S / t. Оба слова здесь несущие: «весь» и «всё». Сложить скорости и поделить пополам — самая частая ошибка школьной физики, и она же портит расчёты времени поездок у вполне взрослых людей. Ехали три часа и намотали 180 км — средняя скорость 60 км/ч, хотя на спидометре в разные минуты было и 40, и 90.

Дальше по порядку: пошаговый разбор задачи, в которой «очевидные» 50 км/ч превращаются в 48, таблица для двух половин пути, случай с остановками, единственная ситуация, где среднее арифметическое всё же законно, таблица типовых ошибок и разбор задач из частых вопросов.

Главный подвох: 60 и 40 дают 48, а не 50

Задача, на которой спотыкаются все. Машина проехала из пункта А в пункт Б — 120 км со скоростью 60 км/ч — и вернулась тем же путём со скоростью 40 км/ч. Чему равна средняя скорость на всём маршруте?

Рука тянется написать (60 + 40) / 2 = 50. Рука ошибается. Смотрите, что происходит на дороге на самом деле.

Получается 48 — и это не округление и не погрешность, разница с 50 принципиальная. Причина в том, что на «медленном» участке машина находится дольше: обратно те же 120 км со скоростью 40 км/ч тянутся три часа, а на «быстрых» 60 км/ч — только два. Медленная скорость занимает больше времени и потому тянет среднюю вниз сильнее, чем быстрая тянет вверх. Ответ 48 стоит ближе к сорока, чем к шестидесяти, — и это честно.

Для случая «туда и обратно по одному и тому же пути» есть короткая проверка: ответ равен 2ab / (a + b), где a и b — две скорости. Подставляем: 2 × 60 × 40 / (60 + 40) = 4800 / 100 = 48. Сошлось. В учебниках эту штуку называют средним гармоническим, но термин запоминать не обязательно — достаточно запомнить, что при равных участках пути скорости усредняются не по-обычному.

Две половины пути с разными скоростями

Вариант той же ловушки, который любят составители задач: «первую половину пути автомобиль ехал с одной скоростью, вторую — с другой». Половины равны по расстоянию, значит, работает та же формула 2ab / (a + b). Разберу один случай руками, чтобы таблица ниже не выглядела фокусом. Скорости 80 и 40 км/ч. Пусть весь путь — 2S, тогда каждая половина S. Время: S / 80 + S / 40 = S / 80 + 2S / 80 = 3S/80. Средняя скорость: 2S / (3S/80) = 160 / 3 ≈ 53,3 км/ч.

Последняя строка — контрольная: при одинаковых скоростях любая формула даёт одно и то же, расхождений нет. А во всех остальных строках ответ смещён вниз, к медленной скорости, и смещение растёт с разницей скоростей. При 60 и 40 «наивное» 50 завышает всего на 2 км/ч — почти незаметно. При 80 и 40 завышение уже 6,7 км/ч. Планируя время такой поездки по завышенной средней, вы будете стабильно опаздывать — и не поймёте, куда девается час.

Если в пути были остановки

В формуле v = S / t под t понимается всё время: заправки, обеды, стоянки, давно не чистимые стёкла на смотровой площадке. Формула не меняется — меняется число, которое вы в неё подставляете.

Пример. Маршрут туда-обратно — 240 км, руль в руках суммарно 5 часов, но ещё час ушёл на отдых и заправку. Средняя скорость маршрута: 240 / 6 = 40 км/ч. Средняя скорость в движении: 240 / 5 = 48 км/ч — это совсем другая величина, и в задачах её так и называют: «средняя скорость в движении». Если в условии нет слова «в движении», делите на полное время от старта до финиша.

В жизни то же самое. Навигатор, который обещает «приедете в 15:40», закладывает в расчёт среднюю с учётом светофоров и пробок, а не крейсерскую скорость по трассе. Поэтому фактическая поездка почти всегда дольше, чем «240 км на скорости 100 — значит, два с половиной часа»: сто километров в час вы держите далеко не всё время.

Когда среднее арифметическое всё же работает

Ровно один случай: равные промежутки времени. Час на 60 км/ч и час на 40 км/ч — путь 60 + 40 = 100 км, время 2 ч, средняя 50 км/ч. Здесь (60 + 40) / 2 = 50 даёт верный ответ, потому что каждый участок занимал одинаковое время, и ни одна скорость не успела «перевесить» другую. Совпадение с арифметическим средним тут не случайность, а свойство: при равных временах средняя скорость численно равна среднему арифметическому.

Именно из-за третьей строки основную формулу стоит держать в голове как главную: она работает всегда, а две верхние — только в своих частных случаях. Прежде чем хвататься за сокращённую формулу, задайте себе один вопрос: что в задаче одинаковое — километры или часы? Путаница именно тут: 120 км на 60 км/ч и 120 км на 40 км/ч дают среднюю 48, а 2 часа на 60 км/ч и 2 часа на 40 км/ч — уже 50. Числа похожи, ответы разные.

Ошибка → решение

Пять ситуаций, в которых расчёт формально «сходится», а ответ выходит негодный.

Сквозной пример: три участка разной длины

Соберу всё вместе на задаче, где не работает ни одна сокращённая формула. Автобус ехал 2 часа со скоростью 50 км/ч, потом 3 часа со скоростью 60 км/ч, затем сделал остановку на полчаса и последние 40 км прошёл за час. Какова средняя скорость на маршруте?

Весь путь: 2 × 50 + 3 × 60 + 40 = 100 + 180 + 40 = 320 км. Всё время: 2 + 3 + 0,5 + 1 = 6,5 ч. Средняя скорость: 320 / 6,5 ≈ 49,2 км/ч. Обратите внимание, что остановка на полчаса вошла в делитель — без неё вышло бы 320 / 6 ≈ 53,3, и это был бы ответ на другой вопрос. Заметьте также, что ни (50 + 60 + 40) / 3, ни что-либо похожее здесь не работает: участки разные и по времени, и по длине.

Частые вопросы

Почему нельзя просто усреднить две скорости?

Потому что средняя скорость — это не «среднее по цифрам», а «весь путь на всё время». Скорости проводят в задаче разное количество времени: медленная — больше, быстрая — меньше, поэтому они и складываются с разными весами. Арифметическое среднее считает их равноправными — и завышает ответ всякий раз, когда участки пути равны. При равных временах веса действительно одинаковы — вот там усреднение и работает.

Первые 2 часа — 50 км/ч, следующие 3 часа — 60 км/ч. Какая средняя?

Времена разные, значит, приём «сложить и поделить пополам» не годится. Путь: 2 × 50 + 3 × 60 = 280 км. Время: 5 ч. Средняя: 280 / 5 = 56 км/ч. Заметьте: не 55, как дало бы арифметическое среднее. Более быстрая часть поездки длилась дольше и перетянула среднюю к себе — ровно наоборот по сравнению с задачей про равные пути.

Чем средняя скорость отличается от мгновенной?

Мгновенная — это то, что показывает спидометр в конкретную секунду. Средняя — одна цифра на весь маршрут, «как будто ехали ровно». За поездку мгновенная меняется десятки раз, средняя — одна. Связь между ними жёсткая: средняя всегда лежит между минимальной и максимальной мгновенными скоростями участка, но не обязана совпадать ни с одной из них.

Может ли средняя скорость быть больше самой большой из скоростей?

Нет, и это хорошая самопроверка. Средняя скорость зажата между наименьшей и наибольшей скоростью участков: что-то среднее не может превзойти оба своих слагаемых. Если у вас вышло 70 км/ч при участках 60 и 40 — ищите арифметическую ошибку, ответ неверен до пересчёта.

Как перевести метры в секунду в километры в час?

Умножить на 3,6: 25 м/с × 3,6 = 90 км/ч, 10 м/с = 36 км/ч. В обратную сторону — делить на 3,6. Число берётся из перевода часов в секунды: за 1 секунду тело проходит v метров, за час — в 3600 раз больше, а километр — это 1000 метров, 3600 / 1000 = 3,6. Если в задаче единицы вперемешку, приведите их до всех расчётов — в конвертере величин это делается в одно поле.

А если спидометр в милях в час?

Американские и британские спидометры меряют mph, и «шестидесятница» на них — это не 60 км/ч, а 96,6. Умножайте мили на 1,6093: 60 mph ≈ 96,6 км/ч, 40 mph ≈ 64,4 км/ч. Готовая таблица популярных значений — в статье про мили и километры, а формула средней скорости от единиц не меняется: делите мили на часы — получите mph, дальше переводите.

Коротко

Средняя скорость — весь путь на всё время, и никак иначе. Туда 60 км/ч и обратно 40 км/ч — это 48, а не 50, потому что медленная часть заняла больше времени. При равных половинах пути считайте 2ab / (a + b), при равных временах можно и (a + b) / 2, а при остановках делите на полное время маршрута. Единицы приводите заранее: м/с × 3,6 = км/ч, мили × 1,609 = км — и тогда ни одна поездка не будет рассчитываться «на глазок».